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01背包问题

April 17, 2020 • Read: 557 • 算法

在动态规划问题中,常常会见到这种类型的问题:

有一个贼偷东西,每件物品都有相应的价值以及重量,贼只带了一个能装下一定重量的包,问:贼该如何偷东西才能获得最大收益?

作者第一次见着这样的题的时候,以为能用贪心算法计算,但是很快就否认了自己想法,反例如下:

物品序号12
物品价值2030
物品重量23
性价比1010

当遇到上面的两种情况的时候,就不好进行选择了,况且,贪心算法只能计算在“当前”最优的结果,而不能保证一定正确,所以用贪心算法是不能解决的,所以,我们需要使用背包算法来解决这个问题

解题步骤:

解决背包问题总共有三个步骤:

  1. 读入数据
  2. 画出表格
  3. 输出答案

一、读入数据

假设有如下数据:

序号1234
体积2345
价值3456

在此处,我们先规定:

cost[i] : 第 i 件物品的重量(资源消耗量)

value[i] : 第 i 件物品的价值(创造的价值)

F[i] [j] : 前 i 件商品在背包容量为 j 的条件下的最大收益

二、画出表格

1.无优化版

对于DP类的问题,我们应当将一个大的问题分成数个比较小的问题进行求解,于是:

  • 在体积小于2的情况下,我们只能取得最大价值0
  • 体积为2的时候,我们最大取得3
  • 体积为3的时候,我们最大取得4
  • 体积为4的时候,我们最大取得5
  • 体积为5的时候,我们最大取得7
  • 体积为6的时候,我们最大取得8
  • 体积为7的时候,我们最大取得9
  • 体积为8的时候,我们最大取得10
  • ……

上述结果可以大致画出表格:

i/j012345678
0000000000
1003333333
2003447777
3003457899
40034578910

这是我们自己口算出来的,但是,如果用式子来表示,该怎么写呢?

  1. j<cost[i] : F[i][j]=F[i-1][j]
    背包装不下,不拿
  2. j>=cost[i] : F[i][j] = max(F[i-1][j] , F[i-1][j-cost[i]]+value[i])
    背包装得下,在拿和不拿中选择最大的那个

其中:第二种情况中,F[i] [j] = F[i-1] [j] ,不拿收益最高,F[i] [j] = F[i-1] [j-cost[i]]+value[i] 拿走东西,背包的容量减少,收益增加

处理以后,可以得到代码为:

/*
 * @Author: Mr.Sen
 * @LastEditTime: 2020-04-17 20:08:35
 * @Website: https://449293786.site
 * @原创代码,版权所有,转载请注明原作者
 */
for(int i=1;i<=number;i++)
{
    for (int j=1;j<=pack_size;j++)
    {
        F[i][j]=F[i-1][j];
        if (j>=cost[i])
        {
            F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-cost[i]]+value[i]);
        }
    }
}

这种未优化版本的优点就是可以找出最优解的组合,所以问到需要最优组合的时候,优先考虑未优化版本

2.空间优化版

在前一种方法的基础上,我们有没有更好的优化版本呢?当然有。因为F[i] [j] 的值只和前一次循环所保留下来的值有关,所以我们可以将二维数组优化为一维数组进行求解

此时,状态转移方程可以化为 F[j] = max(F[j],F[j-cost[i]]+value[i])

但是,当我们在进行求解的时候,有出现问题了,如果我们依旧从小到大开始扫描的话,前面的值将可能被修改从而导致后面的数组错误,如果使用逆序遍历的话,就可以解决这个问题

修改后的代码如下:

/*
 * @Author: Mr.Sen
 * @LastEditTime: 2020-04-17 20:08:35
 * @Website: https://449293786.site
 * @原创代码,版权所有,转载请注明原作者
 */
for(int i=1;i<=number;i++)
{
    for (int j=pack_size;j>=0;j--)
    {
        // F[i][j]=F[i-1][j];
        if (j>=cost[i]&&F[j-cost[i]]+value[i]>F[j])
        {
            F[j]=F[j-cost[i]]+value[i];
        }
    }
}

值得注意的是,该方法因为会覆盖以前的结果,所以是无法求出最优组合的


三、接下来是实战

题目描述

金明今天很开心,家里购置的新房就要领钥匙了,新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是,妈妈昨天对他说:“你的房间需要购买哪些物品,怎么布置,你说了算,只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算,但是他想买的东西太多了,肯定会超过妈妈限定的N元。于是,他把每件物品规定了一个重要度,分为555等:用整数1−51-51−5表示,第555等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是整数元)。他希望在不超过N元(可以等于N元)的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第jjj件物品的价格为v[j],重要度为w[j],共选中了k件物品,编号依次为j1,j2,…,jk,则所求的总和为:

v[j1]×w[j1]+v[j2]×w[j2]+…+v[jk]×w[jk]

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行,为222个正整数,用一个空格隔开:nm(其中N(<30000)表示总钱数,m(<25)为希望购买物品的个数。)

从第222行到第m+1行,第j行给出了编号为j−1的物品的基本数据,每行有222个非负整数vp(其中v表示该物品的价格(v≤10000),p表示该物品的重要度(1−51-51−5)

输出格式

111个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<100000000)

输入输出样例

输入 #1

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

输出 #1

3900

AC代码1:

/*
 * @Author: Mr.Sen
 * @LastEditTime: 2020-04-17 20:08:35
 * @Website: https://449293786.site
 * @原创代码,版权所有,转载请注明原作者
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cost[30],value[30];
int F[30][30005];

int main()
{
    int number,pack_size;
    cin>>pack_size>>number;
    for (int i=1;i<=number;i++)
    {
        cin>>cost[i]>>value[i];
        value[i]*=cost[i];
        // cout<<cost[i]<<" "<<value[i]<<endl;
    }
    for(int i=1;i<=number;i++)
    {
        for (int j=1;j<=pack_size;j++)
        {
            F[i][j]=F[i-1][j];
            if (j>=cost[i])
            {
                F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-cost[i]]+value[i]);
            }
        }
    }
    cout<<F[number][pack_size]<<endl;
    return 0;
}

AC代码2:

/*
 * @Author: Mr.Sen
 * @LastEditTime: 2020-04-17 21:26:44
 * @Website: https://449293786.site
 * @原创代码,版权所有,转载请注明原作者
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cost[30],value[30];
int F[30005];

int main()
{
    int number,pack_size;
    cin>>pack_size>>number;
    for (int i=1;i<=number;i++)
    {
        cin>>cost[i]>>value[i];
        value[i]*=cost[i];
        // cout<<cost[i]<<" "<<value[i]<<endl;
    }
    for(int i=1;i<=number;i++)
    {
        for (int j=pack_size;j>=0;j--)
        {
            // F[i][j]=F[i-1][j];
            if (j>=cost[i]&&F[j-cost[i]]+value[i]>F[j])
            {
                F[j]=F[j-cost[i]]+value[i];
            }
        }
    }
    cout<<F[pack_size]<<endl;
    return 0;
}
Last Modified: April 22, 2020
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