01背包问题

在动态规划问题中，常常会见到这种类型的问题：

有一个贼偷东西，每件物品都有相应的价值以及重量，贼只带了一个能装下一定重量的包，问：贼该如何偷东西才能获得最大收益？

作者第一次见着这样的题的时候，以为能用贪心算法计算，但是很快就否认了自己想法，反例如下：

当遇到上面的两种情况的时候，就不好进行选择了，况且，贪心算法只能计算在“当前”最优的结果，而不能保证一定正确，所以用贪心算法是不能解决的，所以，我们需要使用背包算法来解决这个问题

解题步骤：

解决背包问题总共有三个步骤：

1. 读入数据
2. 画出表格
3. 输出答案

一、读入数据

假设有如下数据：

在此处，我们先规定：

cost[i] : 第 i 件物品的重量（资源消耗量）

value[i] : 第 i 件物品的价值（创造的价值）

F[i] [j] : 前 i 件商品在背包容量为 j 的条件下的最大收益

二、画出表格

1.无优化版

对于DP类的问题，我们应当将一个大的问题分成数个比较小的问题进行求解，于是：

• 在体积小于2的情况下，我们只能取得最大价值0
• 体积为2的时候，我们最大取得3
• 体积为3的时候，我们最大取得4
• 体积为4的时候，我们最大取得5
• 体积为5的时候，我们最大取得7
• 体积为6的时候，我们最大取得8
• 体积为7的时候，我们最大取得9
• 体积为8的时候，我们最大取得10
• ……

上述结果可以大致画出表格：

这是我们自己口算出来的，但是，如果用式子来表示，该怎么写呢？

1. j<cost[i] : F[i][j]=F[i-1][j]
   背包装不下，不拿
2. j>=cost[i] : F[i][j] = max(F[i-1][j] , F[i-1][j-cost[i]]+value[i])
   背包装得下，在拿和不拿中选择最大的那个

其中：第二种情况中，F[i] [j] = F[i-1] [j] ，不拿收益最高，F[i] [j] = F[i-1] [j-cost[i]]+value[i] 拿走东西，背包的容量减少，收益增加

处理以后，可以得到代码为：

/*
 * @Author: Mr.Sen
 * @LastEditTime: 2020-04-17 20:08:35
 * @Website: https://449293786.site
 * @原创代码，版权所有，转载请注明原作者
 */
for(int i=1;i<=number;i++)
{
    for (int j=1;j<=pack_size;j++)
    {
        F[i][j]=F[i-1][j];
        if (j>=cost[i])
        {
            F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-cost[i]]+value[i]);
        }
    }
}

这种未优化版本的优点就是可以找出最优解的组合，所以问到需要最优组合的时候，优先考虑未优化版本

2.空间优化版

在前一种方法的基础上，我们有没有更好的优化版本呢？当然有。因为F[i] [j] 的值只和前一次循环所保留下来的值有关，所以我们可以将二维数组优化为一维数组进行求解

此时，状态转移方程可以化为 F[j] = max(F[j],F[j-cost[i]]+value[i])

但是，当我们在进行求解的时候，有出现问题了，如果我们依旧从小到大开始扫描的话，前面的值将可能被修改从而导致后面的数组错误，如果使用逆序遍历的话，就可以解决这个问题

修改后的代码如下：

/*
 * @Author: Mr.Sen
 * @LastEditTime: 2020-04-17 20:08:35
 * @Website: https://449293786.site
 * @原创代码，版权所有，转载请注明原作者
 */
for(int i=1;i<=number;i++)
{
    for (int j=pack_size;j>=0;j--)
    {
        // F[i][j]=F[i-1][j];
        if (j>=cost[i]&&F[j-cost[i]]+value[i]>F[j])
        {
            F[j]=F[j-cost[i]]+value[i];
        }
    }
}

值得注意的是，该方法因为会覆盖以前的结果，所以是无法求出最优组合的

三、接下来是实战

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为555等：用整数1−51-51−5表示，第555等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第jjj件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1,j2,…,jk，则所求的总和为：

v[j1]×w[j1]+v[j2]×w[j2]+…+v[jk]×w[jk]

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行，为222个正整数，用一个空格隔开：nm（其中N(<30000)表示总钱数，m(<25)为希望购买物品的个数。）

从第222行到第m+1行，第j行给出了编号为j−1的物品的基本数据，每行有222个非负整数vp（其中v表示该物品的价格(v≤10000)，p表示该物品的重要度(1−51-51−5)

输出格式

111个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<100000000)

输入输出样例

输入 #1

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

输出 #1

3900

AC代码1：

/*
 * @Author: Mr.Sen
 * @LastEditTime: 2020-04-17 20:08:35
 * @Website: https://449293786.site
 * @原创代码，版权所有，转载请注明原作者
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cost[30],value[30];
int F[30][30005];

int main()
{
    int number,pack_size;
    cin>>pack_size>>number;
    for (int i=1;i<=number;i++)
    {
        cin>>cost[i]>>value[i];
        value[i]*=cost[i];
        // cout<<cost[i]<<" "<<value[i]<<endl;
    }
    for(int i=1;i<=number;i++)
    {
        for (int j=1;j<=pack_size;j++)
        {
            F[i][j]=F[i-1][j];
            if (j>=cost[i])
            {
                F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-cost[i]]+value[i]);
            }
        }
    }
    cout<<F[number][pack_size]<<endl;
    return 0;
}

AC代码2：

/*
 * @Author: Mr.Sen
 * @LastEditTime: 2020-04-17 21:26:44
 * @Website: https://449293786.site
 * @原创代码，版权所有，转载请注明原作者
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cost[30],value[30];
int F[30005];

int main()
{
    int number,pack_size;
    cin>>pack_size>>number;
    for (int i=1;i<=number;i++)
    {
        cin>>cost[i]>>value[i];
        value[i]*=cost[i];
        // cout<<cost[i]<<" "<<value[i]<<endl;
    }
    for(int i=1;i<=number;i++)
    {
        for (int j=pack_size;j>=0;j--)
        {
            // F[i][j]=F[i-1][j];
            if (j>=cost[i]&&F[j-cost[i]]+value[i]>F[j])
            {
                F[j]=F[j-cost[i]]+value[i];
            }
        }
    }
    cout<<F[pack_size]<<endl;
    return 0;
}